Ich würde so gern auswendig spielen können

Nein, ich singe auch kein "C". Ich singe (gar nicht. Ich kann nicht singen) relativ.
Das sind Intervalle, also Abstände von einem ton zum nächsten. Da bist es dann völlig egal, ob man mir auf dem Klavier ein C oder ein Cis oder D vorgibt. Der Schritt zum nächsten Ton bleibt gleich. Natürlich ist es einfacher umzusetzen, wenn die tonart nicht zu schräg ist bzw je näher sie an der originaltonart ist. Das hat weniger mit dem Hören zu tun, sondern mit der Beherrschung des Instruments. Welche Noten das sind, k.A..
Mittlerweile sind es nicht mehr nur benachbarte Töne, sondern Figuren, Abschnitte etc. wie auch immer du sie nennen willst.
Soweit zum Spiel rein nach Gehör.
Beim auswendig spielen ist es noch einfacher. Da weiß ich ja die Tonart, damit kenne ich meine "Feinde". Ich habe tlw. auch ein Bild vor Augen, entweder vom ganzen Stück, zumindest aber von den Stellen, die beim Notenspiel anders waren, als ich sie kannte.

Leider habe ich keine garantielösung für dich. Ich würde erst einmal mit auswendig spielen anfangen. Dafür playalongs nutzen, zunächst mit ausgespieler Melodie und da mitspielen.
Dann einfach mal irgendwo aussteigen und versuchen, nach Gehör wieder reinzukommen. Erst wenn du dich gefangen hast mit den auge6in den Noten den punkt suchen, wo du bist.
Wenn das sitzt die Lücken größer machen, bzw immer später die optische Referenz suchen. Dann kommst du vielleicht an den Punkt, an dem du nur noch zu Beginn tonart und Rhythmus/Takt brauchst, der Rest dann auswendig. Zum Schluß dann ohne ausgespielte Melodie, ganz aus dem Gedächtnis. Und nicht zu viel Nachdenken bzw angst haben daneben zu greifen. Wenn da ein ton nicht stimmt, behalt das gesamtstück im Ohr und fang dich auf. Und wenn es nur der Schluß ist, die letzte Note. Das dauert..
Hattest du nicht so ein mini-keyboard? Wenn Sax nicht länger geht, damit könntest du...